Арифметикалық прогрессияда a_5 = 10, a_{10} = 25. a_{20} мүшесі.
Арифметикалық прогрессияда a_5 = 10, a_{10} = 25. a_{20} мүшесі.
Задание: Найти 20-ый член арифметической прогрессии, если пятый член равен 10, а десятый – 25.
Определяем разность прогрессии d. Запишем формулы для членов арифметической прогрессии:
a₅ = a₁ + 4d = 10
a₁₀ = a₁ + 9d = 25
Вычтем первое уравнение из второго:
(a₁ + 9d) – (a₁ + 4d) = 25 – 10
5d = 15
d = 3
Теперь найдём первый член:
a₁ = a₅ – 4d = 10 – 4·3 = 10 – 12 = –2
Найдем 20-ый член:
a₂₀ = a₁ + 19d = (–2) + 19·3 = –2 + 57 = 55
Таким образом, 20-ый член арифметической прогрессии равен 55.
Арифметикалық прогрессияның жалпы мүшесі былай есептеледі:
( a_n = a_1 + (n-1)d )
Мұндағы:
( a_1 ) – бірінші мүше,
( d ) – прогрессияның орташа айырмашылығы.
-
Алдымен берілгендерді жазайық:
( a_5 = a_1 + 4d = 10 )
( a_{10} = a_1 + 9d = 25 ) -
Екі теңдеуді бір-бірінен алып, орташа айырмашылығын табамыз:
( (a_1 + 9d) - (a_1 + 4d) = 25 - 10 )
( 5d = 15 )
( d = 3 ) -
( d ) табылғаннан кейін, ( a_1 )-ді есептейміз:
( a_1 + 4 \times 3 = 10 )
( a_1 + 12 = 10 )
( a_1 = 10 - 12 = -2 ) -
Енді ( a_{20} )-ды табу үшін:
( a_{20} = a_1 + 19d = -2 + 19 \times 3 = -2 + 57 = 55 )
Сонымен, арифметикалық прогрессияның 20-ші мүшесі 55 екен.