Аралықта функцияның ең кіші мәнін табыңыз: $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x $, $ x ∈ [0; 4] $
Аралықта функцияның ең кіші мәнін табыңыз: $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x $, $ x ∈ [0; 4] $
Мы ищем наименьшее значение функции
f(x) = x³ – 6x² + 9x
на отрезке [0; 4].
Для поиска минимума на промежутке анализируем критические точки и значения функции на концах отрезка.
-
Преобразуем функцию:
f(x) = x³ – 6x² + 9x = x · (x² – 6x + 9)
Заметим, что
x² – 6x + 9 = (x – 3)²
Таким образом,
f(x) = x · (x – 3)² -
Находим критические точки, вычислив производную f’(x).
Если f(x) = x · (x – 3)², то используя правило произведения:
f’(x) = 1·(x – 3)² + x · 2(x – 3)
= (x – 3)² + 2x(x – 3)
= (x – 3)[(x – 3) + 2x]
= (x – 3)(3x – 3)
= 3(x – 3)(x – 1)
Приравнивая производную к нулю, получаем критические точки:
3(x – 3)(x – 1) = 0 ⟹ x = 3 или x = 1
-
Теперь вычисляем значение функции в критических точках и на концах отрезка (x = 0 и x = 4):
• f(0) = 0 · (0 – 3)² = 0
• f(1) = 1 · (1 – 3)² = 1 · 4 = 4
• f(3) = 3 · (3 – 3)² = 3 · 0 = 0
• f(4) = 4 · (4 – 3)² = 4 · 1 = 4 -
Сравнивая полученные значения, видим, что наименьшее значение функции равно 0, и оно достигается в точках x = 0 и x = 3.
Таким образом, на отрезке [0; 4] функция f(x) принимает наименьшее значение 0 при x = 0 и x = 3.
Сұрақта берілген ( f(x)=x^3-6x^2+9x ) функциясының ([0,4]) аралығындағы ең кіші мәнін табу керек.
Алдымен функцияның туындысын тауып, оның сынық нүктелерін анықтаймыз. Функцияның туындысы:
[
f’(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)
]
Бұдан ( f’(x)=0 ) болған жағдайларда ( x=1 ) және ( x=3 ) шығады.
Келесі қадамда, аралықтың шеткі нүктелерін де ескере отырып, функция мәнін есептейміз:
• ( x=0 ):
( f(0)=0^3-6\cdot0^2+9\cdot0=0 )
• ( x=1 ):
( f(1)=1^3-6\cdot1^2+9\cdot1=1-6+9=4 )
• ( x=3 ):
( f(3)=3^3-6\cdot3^2+9\cdot3=27-54+27=0 )
• ( x=4 ):
( f(4)=4^3-6\cdot4^2+9\cdot4=64-96+36=4 )
Аталған есептеулерден ( f(0)=0 ) және ( f(3)=0 ) екенін көреміз, ал ( x=1 ) және ( x=4 ) нүктелерінде ( f(x)=4 ) шығып тұр.
Демек, ([0;4]) аралығында функцияның ең кіші мәні ( 0 ) және ол ( x=0 ) және ( x=3 ) нүктелерінде орын алады.
Осы есепте шешім жолы келесі қағидаға негізделген:
• Функцияның экстремумын табудың стандартты әдісі – туындысын алу және сынық нүктелерді анықтау.
• Аралықтағы ең кіші мәнді табу үшін сондай-ақ интервал шеттеріндегі мәндерді де тексеру қажет.
Қорытындылай келе, функцияның ([0;4]) аралығындағы ең кіші мәні ( 0 ).