Айналым денесінің көлемін табыңыз: $ y = x^2 $ [0;2] аралығында Ох осінен айналдыру
Айналым денесінің көлемін табыңыз: $ y = x^2 $ [0;2] аралығында Ох осінен айналдыру
Рассмотрим задачу: нужно вычислить объём тела, полученного при вращении кривой y = x² по отрезку [0, 2] вокруг оси x.
При вращении вокруг оси x удобно применять метод вращения дисков. Объём такого тела определяется формулой
V = π ∫[a, b] [f(x)]² dx.
В нашем случае f(x) = x², a = 0, b = 2, подставляем:
V = π ∫₀² (x²)² dx = π ∫₀² x⁴ dx.
Вычислим интеграл ∫₀² x⁴ dx. Его первообразная равна
∫ x⁴ dx = x⁵/5.
Подставляем пределы:
∫₀² x⁴ dx = (2⁵/5) - (0⁵/5) = 32/5.
Таким образом, объём равен
V = (32π)/5.
Ответ: объём тела равен (32π)/5.
Сеннен келіп түскен сұрақ бойынша бізге (y=x^2) функциясының ([0;2]) аралығында Оx осінен айналдыру нәтижесінде пайда болатын дененің көлемін табу тапсырылды.
Мысал жолы – диск әдісін қолдану:
• Айналдыру кезінде әрбір (x) мәнінде тік диск пайда болады, оның радиусы – (y=x^2). Диск ауданы (A(x)=\pi (x^2)^2=\pi x^4) тең.
• Сондықтан, бүткіл дененің көлемі келесі интеграл арқылы есептеледі:
[
V=\pi\int_{0}^{2}x^4,dx.
]
• Интегралды есептейміз:
[
\int_{0}^{2}x^4,dx=\left[\frac{x^5}{5}\right]_{0}^{2}=\frac{2^5}{5}-0=\frac{32}{5}.
]
• Сондықтан көлемі:
[
V=\pi\cdot\frac{32}{5}=\frac{32\pi}{5}.
]
Осылайша, дұрыс жауап: (\frac{32\pi}{5}).