Қабырғасы a-ға тең кубтың диагоналы табан жазықтығына қандай бұрышпен көлбеген.
Қабырғасы a-ға тең кубтың диагоналы табан жазықтығына қандай бұрышпен көлбеген.
Сізден сұралған сұрақ – қабырғасы a-ға тең кубтың кеңістіктегі диагоналы мен табан жазықтығы арасындағы бұрышты табу. Оны есептеу үшін кубтың диагоналының ұзындығы мен оның табанға параллель проекциясын қарастырайық.
-
Кубтың кеңістіктегі диагоналының ұзындығы:
d = a√3. -
Табан жазықтығындағы проекциясы – табан шаршысының диагоналы:
dₚ = a√2. -
Диагональ мен табан жазықтығы арасындағы бұрышты (θ) үшбұрыштың қабаттары арқылы есептейміз. Бұрыштың косинусы – проекцияның диагональ ұзындығына қатынасы:
cos θ = (a√2) / (a√3) = √2/√3.
Осыдан, θ = arccos(√2/√3).
Нақты мәні шамамен 35.264° болады.
Осымен, дұрыс жауап: куб диагоналі табан жазықтығына шамамен 35.264° бұрышпен көлбеген.
Задача сводится к тому, чтобы найти угол между пространственной диагональю куба и основанием (горизонтальной плоскостью). Пусть у нас куб со стороной a. Рассмотрим пространственную диагональ, которая соединяет противоположные вершины куба. Длина этой диагонали равна
a√3 (так как по теореме Пифагора в пространстве: a√3 = √(a² + a² + a²)).
Проекция этой диагонали на основание – это диагональ нижней грани куба, длина которой равна
a√2 (так как диагональ квадрата со стороной a равна a√2).
При построении прямоугольного треугольника, где гипотенуза – это пространственная диагональ (a√3), а один из катетов – её проекция на основание (a√2), вертикальный катет равен разности по высоте, то есть a. Тогда угол φ между диагональю и плоскостью основания определяется следующим соотношением:
tan(φ) = (вертикальный катет)/(проекция на основание) = a/(a√2) = 1/√2.
Отсюда:
φ = arctan(1/√2).
Численно арктангенс 1/√2 означает примерно 35,26°.
Таким образом, диагональ куба со стороной a наклонена к основанию под углом arctan(1/√2) ≈ 35.26°.