Қабырғасы a-ға тең кубқа сырттай сызылған шардың радиусын табыңыз.
Қабырғасы a-ға тең кубқа сырттай сызылған шардың радиусын табыңыз.
Сен кубтың барлық иірімдері шардың бетіне тиетінін сұрадың. Мұнда куб ішіне салынған шар емес, кубды толықтай қаптайтын, яғни шардың бетіне кубтың барлық шеттері (түйіндері) тиетін шар туралы сөз қозғалуда.
Енді есептеуді талқылайық.
• Кубтың ортасынан оның бір түйініне дейінгі қашықтықты табу керек. Кубдың бір қабырғасының ұзындығы a болғанда, оның кеңістіктегі диагоналі болады. Кеңістіктегі диагональдің ұзындығы:
( d = a\sqrt{3} ).
• Шардың шеңбері (жарық шары) оның ортасынан бір түйінге дейінгі қашықтыққа тең, яғни радиусы ( R = \frac{d}{2} ) болады.
• Сондықтан, радиусымыз:
( R = \frac{a\sqrt{3}}{2} ).
Қорытындылай келе, қабырғасы a-ға тең кубқа сырттай сызылған шардың радиусы ( \frac{a\sqrt{3}}{2} ) тең.
Задача сводится к нахождению радиуса описанной вокруг куба сферы. Для любого куба с длиной ребра a центр сферы совпадает с центром куба, а сфера проходит через все вершины куба.
Найдём расстояние от центра куба до одной из вершин. Центр куба находится на пересечении его диагоналей, то есть координаты центра – (a/2, a/2, a/2). Вершина куба, например, имеет координаты (a, a, a). Расстояние между ними вычисляется по формуле расстояния в пространстве:
R = √[(a - a/2)² + (a - a/2)² + (a - a/2)²] = √[3·(a/2)²] = (a√3)/2
Следовательно, радиус сферы равен (a√3)/2.