ABCD трапециясында ВС және AD – табандар. АD=10 см, ВС=5 см, АС=9 см, ВD=12 см. Ауданын табыңыз.
ABCD трапециясында ВС және AD – табандар. АD=10 см, ВС=5 см, АС=9 см, ВD=12 см. Ауданын табыңыз.
Мы имеем трапецию ABCD, в которой основаниями являются отрезки AD и BC. Даны: AD = 10 см, BC = 5 см, а также длины диагоналей AC = 9 см и BD = 12 см. Необходимо найти площадь трапеции.
Чтобы решить задачу, удобно ввести систему координат. Пусть основание AD расположено по оси Ox. Примем точку A за начало координат (0, 0), а точку D – за (10, 0), поскольку AD = 10 см. Так как основания AD и BC параллельны, то отрезок BC тоже будет горизонтальным. Обозначим координаты точки B как (x₀, h), а точки C как (x₀ + 5, h), где h – высота трапеции, а 5 см – длина основания BC.
Рассмотрим диагонали:
– Диагональ AC проходит из точки A (0, 0) в точку C (x₀ + 5, h) и имеет длину 9 см. Отсюда:
(x₀ + 5)² + h² = 9² = 81.
– Диагональ BD проходит из точки B (x₀, h) в точку D (10, 0) и имеет длину 12 см. Получаем:
(10 – x₀)² + h² = 12² = 144.
Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти x₀:
(10 – x₀)² – (x₀ + 5)² = 144 – 81 = 63.
Раскроем скобки:
(100 – 20x₀ + x₀²) – (x₀² + 10x₀ + 25) = 63,
100 – 20x₀ + x₀² – x₀² – 10x₀ – 25 = 63,
75 – 30x₀ = 63.
Отсюда:
30x₀ = 75 – 63 = 12 → x₀ = 12/30 = 0.4 см.
Теперь подставим x₀ в первое уравнение:
(0.4 + 5)² + h² = 81,
(5.4)² + h² = 81,
29.16 + h² = 81 → h² = 81 – 29.16 = 51.84,
h = √51.84 = 7.2 см.
Площадь трапеции вычисляется по формуле:
S = (1/2) · (основание₁ + основание₂) · высота.
Подставляем наши значения:
S = 0.5 · (10 + 5) · 7.2 = 0.5 · 15 · 7.2 = 7.5 · 7.2 = 54 см².
Следовательно, площадь трапеции равна 54 см².
Тапсырманы мәтін бойынша түсінейік: бізге ABCD трапециясында AD және BC табандар берілген, олардың ұзындығы 10 см және 5 см сәйкесінше; сонымен қатар трапецияның диагоналдарының ұзындықтары – AC = 9 см, BD = 12 см – белгілі. Мақсат – трапецияның ауданын табу.
Мәселені шешу жолы:
• Бір қарағанда трапецияның ауданы табанының ұзындықтарының қосындысының жартысына биіктік көбейтіледі:
S = ½·(AD + BC)·h = ½·(10 + 5)·h = 7.5·h.
Бірақ h (биіктік) белгісіз.
• Алайда, трапецияның бір ерекше қасиеті бар: оның диагоналдарының қиылысу нүктесінде табандардың қатынасына байланысты бөлініс байқалады. Яғни, диагонал AC екі бөлікке бөлінеді: AO және OC, олардың қатынасы AD:BC болады. Осыдан AO:OC = 10:5 = 2:1 деп алсақ, онда AC = 3x, x = 3 см (сонда AO = 6 см, OC = 3 см). Сонымен қатар, диагонал BD де ұқсас қатынаспен бөлінеді: OB:OD = BC:AD = 5:10 = 1:2, яғни BD = 3y, y = 4 см (OB = 4 см, OD = 8 см).
• Осыдан координаттарды енгізіп трапецияны орналастырайық. Төмендегідей ұйғару ыңғайлы:
- A = (0, 0)
- D = (10, 0) (өйткені AD = 10 см)
- B = (b, h)
- C = (b + 5, h) (BC = 5 см)
• Диагоналдардың ұзындығынан теңдіктер құрамыз:
– AC: A=(0,0) мен C=(b+5, h) болғандықтан,
(b + 5)² + h² = 9² = 81.
– BD: B=(b, h) мен D=(10, 0) болғандықтан,
(10 – b)² + h² = 12² = 144.
• Екі теңдіктен h²-ны жою үшін шег差 аламыз:
(10 – b)² – (b + 5)² = 144 – 81 = 63.
Екі квадратты ашайық:
(10 – b)² = 100 – 20b + b²,
(b + 5)² = b² + 10b + 25.
Шег差: (100 – 20b + b²) – (b² + 10b + 25) = 75 – 30b = 63.
Осыдан: 75 – 30b = 63 ⇒ 30b = 75 – 63 = 12 ⇒ b = 0.4 см.
• Бірінші теңдікте b=0.4-ті орнына қойсақ:
(0.4 + 5)² + h² = 81 ⇒ (5.4)² + h² = 81 ⇒ 29.16 + h² = 81 ⇒ h² = 81 – 29.16 = 51.84.
Сонда, h = √51.84 = 7.2 см.
• Енді трапецияның ауданын табамыз:
S = ½·(AD + BC)·h = ½·15·7.2 = 7.5·7.2 = 54 см².
Нәтижесінде, трапецияның ауданы 54 см².