ABCD трапециясында ВС || АD, АВ=8 см, ВС=7.5 см, CD=6 см, АD=17.5 см. Трапецияның ауданын табыңыз.
ABCD трапециясында ВС || АD, АВ=8 см, ВС=7.5 см, CD=6 см, АD=17.5 см. Трапецияның ауданын табыңыз.
Бұл есепте бізге трапецияның екі параллель қабырғасы және қас қабырғаларының ұзындықтары берілген. Тапсырма трапецияның ауданын табуды сұрайды. Суретте трапеция ABCD деп белгілеп, оның қабырғаларын былай орналастырайық:
• Ұзын база AD = 17.5 см
• Қысқа база BC = 7.5 см (осы қабырғалар параллель)
• Қас қабырғалары AB = 8 см және CD = 6 см
Енді трапецияның ауданын табу үшін биіктігін анықтау қажет. Аудан формуласы:
S = 0.5 · (AD + BC) · h
Биіктікті табу үшін координаттар жүйесін қолданайық:
- A нүктесін (0, 0) деп алайық, D нүктесі (17.5, 0) болады.
- B нүктесін (x, h) деп, ал C нүктесін (x + 7.5, h) деп белгілейміз, себебі BC = 7.5 см екенін ескере отырып, B мен C бір биіктікте орналасады.
Қас қабырғаларының ұзындықтарынан:
- A мен B арасындағы қашықтық:
√(x² + h²) = 8 → x² + h² = 64. (теңдеу 1) - D мен C арасындағы қашықтық:
√((17.5 − (x + 7.5))² + h²) = 6
(17.5 − (x + 7.5)) = 10 − x, сондықтан:
√((10 − x)² + h²) = 6 → (10 − x)² + h² = 36. (теңдеу 2)
Теңдеу 2-дан теңдеу 1-ді алып тастайық:
(10 − x)² − x² = 36 − 64 = −28.
Екі жақты ашайық:
100 − 20x + x² − x² = −28
100 − 20x = −28
−20x = −128
x = 6.4.
Енді теңдеу 1-ден h-ті табамыз:
x² + h² = 64 → (6.4)² + h² = 64 → 40.96 + h² = 64
h² = 64 − 40.96 = 23.04 → h = √23.04 = 4.8 см.
Ауданын есептейміз:
S = 0.5 · (17.5 + 7.5) · 4.8 = 0.5 · 25 · 4.8 = 12.5 · 4.8 = 60 см².
Жауап: трапецияның ауданы 60 см².
Для задачи нужно найти площадь трапеции, где основанием является сторона AD длиной 17.5 см, а другой параллельной стороной – сторона BC длиной 7.5 см. Боковые стороны – AB = 8 см и CD = 6 см.
Опишем схему: проведём перпендикуляры из вершин B и C на основание AD. Пусть точка пересечения из B с AD – E, а из C – F. Тогда BE и CF равны высоте h трапеции. Обозначим расстояние от A до E через x. Тогда EF = BC = 7.5 см, а FD = AD – (x + 7.5) = 17.5 – x – 7.5 = 10 – x.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE, где по теореме Пифагора:
( AB^2 = h^2 + x^2 )
то есть
( h^2 = 8^2 - x^2 = 64 - x^2. )
Аналогично, в треугольнике CDF:
( CD^2 = h^2 + (10 - x)^2 )
то есть
( h^2 = 6^2 - (10 - x)^2 = 36 - (10 - x)^2. )
Приравнивая два выражения для ( h^2 ), получим:
( 64 - x^2 = 36 - (10 - x)^2. )
Раскроем скобки:
( (10 - x)^2 = 100 - 20x + x^2. )
Подставляем:
( 64 - x^2 = 36 - 100 + 20x - x^2, )
( 64 - x^2 = -64 + 20x - x^2. )
Сократим ( - x^2 ) с обеих сторон:
( 64 = -64 + 20x, )
( 20x = 128, )
( x = 6.4 \text{ см}. )
Теперь найдём высоту:
( h^2 = 64 - x^2 = 64 - (6.4)^2 = 64 - 40.96 = 23.04, )
( h = \sqrt{23.04} = 4.8 \text{ см}. )
Площадь трапеции находится по формуле:
( S = \frac{1}{2}(AD + BC) \cdot h. )
Подставляем значения:
( S = \frac{1}{2}(17.5 + 7.5) \cdot 4.8 = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 4.8 = 12.5 \cdot 4.8 = 60 \text{ см}^2. )
Ответ: площадь трапеции равна 60 см².