ABCD трапециясында AD және ВС – табандары, AD:ВС=2:1. Е – ВС қабырғасының ортасы. AED үшбұрышының ауданы 60 см² болса, трапецияның ауданын табыңыз.
ABCD трапециясында AD және ВС – табандары, AD:ВС=2:1. Е – ВС қабырғасының ортасы. AED үшбұрышының ауданы 60 см² болса, трапецияның ауданын табыңыз.
Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC, где AD:BC = 2:1. Пусть длина меньшего основания BC равна b, тогда длина большего основания AD равна 2b. Обозначим высоту трапеции через h.
Выберем удобную систему координат. Допустим, что основание AD расположено на оси x так, что A = (0, 0) и D = (2b, 0). Тогда второе основание, равное BC, будет параллельно оси x и находиться на некоторой прямой y = h. Если принять B = (x₀, h), то C = (x₀ + b, h), а средняя точка E отрезка BC имеет координаты E = (x₀ + b/2, h).
Рассмотрим треугольник AED с вершинами A = (0, 0), E = (x₀ + b/2, h) и D = (2b, 0). Его площадь можно найти по формуле:
S₍AED₎ = ½ · |det(→AE, →AD)|.
Вектор →AE = (x₀ + b/2, h) и →AD = (2b, 0). Определитель этих двух векторов равен:
det = (x₀ + b/2)·0 – h·(2b) = –2b·h.
Площадь треугольника равна:
S₍AED₎ = ½ · 2b·h = b·h.
По условию S₍AED₎ = 60 см², откуда получаем
b·h = 60. (1)
Теперь найдём площадь всей трапеции. Площадь трапеции вычисляется по формуле:
S₍трапеции₎ = ½ · (AD + BC) · h = ½ · (2b + b) · h = ½ · 3b·h = 1.5·(b·h).
Подставляя (1), получаем:
S₍трапеции₎ = 1.5 · 60 = 90 см².
Ответ: площадь трапеции равна 90 см².
Мәселені қысқаша қайталап өтейін: Трапеция ABCD-де AD және BC табандары болып табылады, олардың ұзындықтары 2:1 қатынасында. BC қабырғасының ортасындағы нүкте E берілсе, AED үшбұрышының ауданы 60 см² болуы белгілі. Сонда трапецияның ауданын табу керек.
Есепті шешу үшін ыңғайлы координаттық жүйе енгізейік:
• A нүктесін (0, 0) деп белгілейік.
• AD табанының ұзындығын 2k етейік, сонда D нүктесі (2k, 0) болады.
• Ал екінші табан BC ұзындығы k болады. Ыңғайлы ету үшін B нүктесін (0, h) және C нүктесін (k, h) деп аламыз.
• Басқаша айтқанда, трапецияның табандары – AD және BC – екеуі де көлденең болады, ал биіктігі h.
Nүкте E – BC қабырғасының ортасы, сондықтан
E = ((0 + k)/2, h) = (k/2, h).
Енді AED үшбұрышының ауданына назар аударайық. Оның төбелері:
A = (0, 0),
E = (k/2, h),
D = (2k, 0).
Үшбұрышының ауданын векторлық әдіс арқылы табамыз. Екі векторды алайық:
AE = E – A = (k/2, h),
DE = E – D = (k/2 – 2k, h – 0) = (–3k/2, h).
Үшбұрыш ауданы формуласы:
Area = ½ |x₁·y₂ – y₁·x₂|.
Осыған сәйкес,
Area = ½ |(k/2)h – h(–3k/2)| = ½ |(k·h/2 + 3k·h/2)| = ½ (4k·h/2) = ½ (2k·h) = k·h.
Берілген бойынша AED үшбұрышының ауданы 60 см², яғни:
k·h = 60. (1)
Трапецияның ауданы мына формула бойынша есептеледі:
Area_trap = ((AD + BC)/2)·h.
AD = 2k, BC = k болғандықтан,
Area_trap = ((2k + k)/2)·h = (3k/2)·h = (3/2)·(k·h).
(1) теңдеуден k·h = 60 екені белгілі, сондықтан:
Area_trap = (3/2)·60 = 90 см².
Жауап: трапецияның ауданы 90 см².