АBC үшбұрышында бұрыш С тік, бұрыш А 30^\circ. С нүктесі арқылы жазықтыққа СМ перпендикуляр жүргізілген. АС=18 см, СМ=12 см. М нүктесінен АВ түзуіне дейінгі қашықтықты табыңыз.
АBC үшбұрышында бұрыш С тік, бұрыш А 30^\circ. С нүктесі арқылы жазықтыққа СМ перпендикуляр жүргізілген. АС=18 см, СМ=12 см. М нүктесінен АВ түзуіне дейінгі қашықтықты табыңыз.
Сұрақта: АВ түзуіне М нүктесінен дейінгі қашықтықты табу керек. Берілгендер: АВС үшбұрышында С тік бұрышты, бұрыш А = 30°; АС = 18 см; С нүктесінен жазықтыққа жүргізілген СМ перпендикулярының ұзындығы 12 см.
Алдымен үшбұрышты қарастырайық.
• АВС үшбұрышы тік үшбұрыш, тік бұрышы – C.
• Бұрыш А = 30° болса, бұрыш В = 60° (үшбұрыштың бұрыштары қосындысы 180°).
• Гипотенуза – АВ, ал АС мен ВС – катеттері.
30°-60°-90° үшбұрышында қатынастар белгілі:
– 30° бұрышқа қарсы жатқан катет – гипотенузаның жартысына тең;
– 30° бұрышқа көріне катет – гипотенузаның √3/2 бөлігіне тең.
Дегенмен, бізге АС = 18 см берілген, ал АС бұрыш А-ға көрін катет, сондықтан
cos30° = АС / АВ ⟹ АВ = АС / cos30° = 18 / (√3/2) = 36/√3 = 12√3 см.
Ал 30° бұрышының қарсы катеті, яғни ВС,
sin30° = ВС / АВ ⟹ ВС = АВ·sin30° = 12√3·(1/2) = 6√3 см.
Енді М нүктесі туралы: C нүктесінен жазықтыққа СМ перпендикуляр жүргізілген, яғни М — C-ден жоғары нүкте, ал СМ = 12 см.
М нүктесінен АВ түзуіне дейінгі қашықтықты табу үшін, алдымен C нүктесінің АВ түзуінен қашықтығын анықтаймыз.
Тік үшбұрышта, тік бұрыштың қарқыны (C нүктесі) гипотенузадан (АВ) жазықтықтағы перпендикуляр қашықтықты былай есептеуге болады:
d = (AC × BC) / AB.
Мәліметтерді орнына қойсақ:
d = (18 × 6√3) / (12√3) = (108√3) / (12√3) = 9 см.
М-нің АВ түзуіне дейінгі қашықтығы мен C-нің АВ түзуінен қашықтығы арасында тік үшбұрыш тұр, мұнда:
– Бір жақ: СМ = 12 см (жазықтықтан биіктік).
– Екінші жақ: C нүктесінің АВ-тен қашықтығы, яғни d = 9 см.
Осы үшбұрышта М нүктесінен АВ түзуіне дейінгі қашықтық (MH) Пифагор теоремасы бойынша:
MH = √(СМ² + d²) = √(12² + 9²) = √(144 + 81) = √225 = 15 см.
Қорытындылай келе, М нүктесінен АВ түзуіне дейінгі қашықтық 15 см.
Расмотрим задачу: в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом в C и углом A = 30° дан отрезок AC = 18 см; через точку C опущен перпендикуляр (CM = 12 см) к плоскости треугольника – таким образом, точка M находится вне плоскости треугольника. Требуется найти расстояние от M до прямой AB (которая лежит в плоскости треугольника).
Чтобы решить задачу, удобно ввести прямоугольную систему координат. Пусть точка C имеет координаты (0, 0, 0). Разместим отрезок AC вдоль оси Ox, таким образом, точка A будет иметь координаты (18, 0, 0). Так как треугольник прямоугольный в C, отрезок CB лежит вдоль оси Oy, а точка B – (0, b, 0). Учитывая, что угол A равен 30°, а угол B = 60° (так как сумма углов в треугольнике равна 180°), треугольник является 30–60–90. В таком треугольнике боковые стороны связаны соотношением: сторона, противолежащая 30° (от A – сторона BC), равна меньшему катету, а сторона, противолежащая 60° (AC), равна этому меньшему катету, умноженному на √3. Тогда из равенства:
AC = BC·√3 → BC = AC/√3 = 18/√3 = 6√3.
Таким образом, точка B имеет координаты (0, 6√3, 0).
Далее, через точку C проведён перпендикуляр к плоскости треугольника, поэтому точка M располагается над точкой C на расстоянии 12 см. Её координаты: (0, 0, 12).
Найдем расстояние от точки M до прямой AB. Для этого удобно использовать формулу расстояния от точки до прямой в пространстве. Если на прямой задана точка A и направляющий вектор AB, то расстояние d от произвольной точки M до этой прямой равно:
d = |AM × AB| / |AB|,
где AM = M – A, а AB = B – A.
Найдем необходимые векторы:
A = (18, 0, 0), B = (0, 6√3, 0), M = (0, 0, 12).
Вектор AB:
AB = B – A = (0 – 18, 6√3 – 0, 0 – 0) = (–18, 6√3, 0).
Вектор AM:
AM = M – A = (0 – 18, 0 – 0, 12 – 0) = (–18, 0, 12).
Вычисляем векторное произведение AM × AB. Запишем его координаты по формуле:
(AM × AB)_x = (00 – 12(6√3)) = –72√3,
(AM × AB)_y = (12*(–18) – (–180)) = –216,
(AM × AB)_z = (–18(6√3) – 0*(–18)) = –108√3.
Найдем модуль векторного произведения:
|AM × AB| = √((–72√3)² + (–216)² + (–108√3)²)
= √( (72²·3) + 216² + (108²·3) )
= √(15552 + 46656 + 34992)
= √97200
= 180√3 (так, как 97200 = (180√3)²).
Найдем модуль вектора AB:
|AB| = √((–18)² + (6√3)² + 0²)
= √(324 + 36·3)
= √(324 + 108)
= √432
= 12√3 (поскольку 432 = (12√3)²).
Теперь вычисляем расстояние:
d = |AM × AB| / |AB| = (180√3) / (12√3) = 15.
Получаем, что расстояние от точки M до прямой AB равно 15 см.
Ответ: 15 см.