A(3;-1), B(-5;4) нүктелерінен бірдей қашықтықтағы сызықтың теңдеуі

Математика
1

A(3;-1), B(-5;4) нүктелерінен бірдей қашықтықтағы сызықтың теңдеуі.

A(3;-1), B(-5;4) нүктелерінен бірдей қашықтықтағы сызықтың теңдеуі.

2

Рассмотрим задачу: нужно найти уравнение прямой, проходящей через все точки, равноудалённые от точек A(3; –1) и B(–5; 4). Такая прямая является серединным перпендикуляром отрезка AB.

Для нахождения уравнения серединного перпендикуляра выполним следующие шаги:

  1. Найдём координаты середины отрезка AB. Используем формулу:
    M = ((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2).
    Подставляем точки A(3; –1) и B(–5; 4):
    M = ((3 + (–5))/2; (–1 + 4)/2) = (–2/2; 3/2) = (–1; 3/2).

  2. Определим наклон (угловой коэффициент) отрезка AB. Формула для наклона:
    m_AB = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁).
    Вычисляем:
    m_AB = (4 – (–1))/(–5 – 3) = 5/–8 = –5/8.

  3. Наклон серединного перпендикуляра – это отрицательный обратный наклон отрезка AB. Значит,
    m_perp = 8/5.

  4. Теперь уравнение прямой, проходящей через точку M(–1; 3/2) с наклоном 8/5, можно записать в точечно-наклонной форме:
    y – y₀ = m(x – x₀),
    где точка M имеет координаты (x₀; y₀) = (–1; 3/2). Подставляем:
    y – 3/2 = (8/5)(x – (–1)) = (8/5)(x + 1).

  5. Приведём уравнение к более привычному виду. Раскроем скобки:
    y – 3/2 = (8/5)x + 8/5.
    Добавим 3/2 к обеим сторонам:
    y = (8/5)x + 8/5 + 3/2.
    Чтобы сложить 8/5 и 3/2, приведём их к общему знаменателю (10):
    8/5 = 16/10, 3/2 = 15/10.
    Таким образом:
    8/5 + 3/2 = (16 + 15)/10 = 31/10.
    Получаем окончательное уравнение:
    y = (8/5)x + 31/10.

Итак, уравнение серединного перпендикуляра (прямой, равноудалённой от точек A и B) выглядит так:
y = (8/5)x + 31/10.

3

Бірдей қашықтықтағы нүктелерді анықтайтын сызық – AB кесіндісінің ауданының тіксәйкесті сызығы (перпендикуляр биссектрисасы).

Ең алдымен, A(3; -1) және B(-5; 4) нүктелерінің ауданының орнын табамыз:

• Ауданының орнын табамыз:
x = (3 + (–5))⁄2 = (–2)/2 = –1, y = (–1 + 4)⁄2 = 3⁄2.
Яғни, ауданының орны (-1; 3⁄2).

• А нүктесімен B нүктесінің кесіндісінің傾енін анықтаймыз:
m₍AB₎ = (4 – (–1))/(–5 – 3) = 5/(-8) = –5⁄8.

• Осы кесіндінің перпендикуляр сызығының傾ені – ауданының傾енінің кері және таңбасы өзгертілген мәні:
m = 8⁄5.

• Сызықтың нүкте-көшірмесі түріндегі теңдеуін жазамыз нүктесі (-1; 3⁄2) арқылы:
y – 3⁄2 = (8⁄5)(x + 1).

Қажет болса, теңдеуді жалпы формасына келтірейік:
y = (8⁄5)x + (8⁄5) + 3⁄2.
Ортақ бөлім табу үшін (8⁄5) = 16⁄10 және (3⁄2)=15⁄10, сонда:
y = (8⁄5)x + (16 + 15)/10 = (8⁄5)x + 31⁄10.

Демек, A және B нүктелерінен бірдей қашықтықтағы сызықтың теңдеуі:
y = (8⁄5)x + 31⁄10.