Площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 и y = 2x, равна:
A) \frac{4}{3}
B) \frac{8}{3}
C) \frac{16}{3}
D) \frac{32}{3}
E) \frac{2}{3}
F) \frac{1}{3}
G) \frac{5}{3}
H) \frac{7}{3}
В данном примере нужно найти площадь области, ограниченной графиками функций y = x² и y = 2x.
Сначала определим точки пересечения. Приравниваем функции:
x² = 2x → x² - 2x = 0 → x · (x - 2) = 0.
Отсюда получаем x = 0 и x = 2.
Так как линия y = 2x находится выше кривой y = x² на интервале от 0 до 2, для нахождения площади между ними вычислим интеграл разности:
S = ∫ от 0 до 2 [2x - x²] dx.
Вычислим интеграл:
∫ [2x - x²] dx = x² - x³/3.
Подставляем пределы интегрирования:
S = (2² - (2³)/3) - (0² - 0³/3) = (4 - 8/3) = (12/3 - 8/3) = 4/3.
Таким образом, площадь фигуры равна 4/3, что соответствует варианту A.