Хорды AD и BC пересекаются. Угол ABC = 50°, угол ACD = 80°. Угол CAD:
A) 60°
B) 50°
C) 30°
D) 45°
E) 65°
Рассмотрим задачу по геометрии на окружности, где даны две вписанные угла, и требуется найти третий угол.
Суть задачи такова: пусть на окружности расположены точки A, B, C, D таким образом, что углы ∠ABC = 50° и ∠ACD = 80°. Угол ∠ CAD – это угол с вершиной в точке A, образованный лучами, проходящими через точки C и D.
Для вписанных углов действует важное свойство: мера вписанного угла равна половине меры дуги, которую он пересекая. Проанализируем по шагам:
-
Угол ∠ABC с вершиной в B опирается на дугу AC. Следовательно, дуга AC имеет меру:
дуга AC = 2·∠ABC = 2·50° = 100°. -
Угол ∠ACD с вершиной в C опирается на дугу AD. Тогда
дуга AD = 2·∠ACD = 2·80° = 160°. -
Угол ∠CAD с вершиной в A опирается на дугу CD. Заметим, что дуга AD состоит из дуги AC и дуги CD, то есть:
дуга AD = дуга AC + дуга CD.
Отсюда дуга CD = дуга AD − дуга AC = 160° − 100° = 60°. -
Тогда ∠ CAD равен половине дуги CD:
∠ CAD = ½·60° = 30°.
Таким образом, правильный ответ – 30°, что соответствует варианту C.
Итог: правильный ответ – вариант C) 30°.